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lql990832的博客

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最小二乘法  

2009-10-18 16:19:27|  分类: 导航技术 |  标签: |举报 |字号 订阅

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    最小二乘法可以用来处理一组数据,可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系,这种函数关系称为经验公式。
    下面将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求x与y之间近似成线性关系时的经验公式。
    假定实验测得变量之间的n个数据(x1,y1)、(x2,y2)......(xn,yn),则在xoy平面上,可以得到n个点Pi(xi,yi)(i=1,2,...,n),这种图形称为“散点图”,从图中可以看出这些点大致散落在某直线近旁,我们认为x和y近似为一线性函数。
    考虑函数y=ax+b,其中a,b为待定常数。如果Pi(xi,yi)(i=1,2,...,n)在一条直线上,则可以认为变量之间的关系为y=ax+b。但一般说来, 这些点不可能在同一直线上. 记为Ei=yi-(axi+b),它反映了用直线y=ax+b来描述x=xi,y=yi时,计算值y与实际值yi的偏差。当然,要求偏差越小越好,但由于Ei可正可负,所以不能认为当∑Ei=0时,函数y=ax+b就好好地反应了变量之间的关系,因为可能每个偏差的绝对值都很大。为了改进这个缺陷,就考虑用∑|Ei|。但绝对值不易做解析运算,因此,进一步用Ei2 来度量总偏差。因偏差的平方和最小可以保证每个偏差都不会很大。于是问题归结为确定y=ax+b中的常数a和b,使 F(a,b)=∑Ei2 = ∑(yi-axi-b)2 为最小。这种确定系数a,b的方法称为最小二乘法。
   由极值原理得
              ?F/?a=?F/?b=0           (“?”为反写“6”,不会拼那个符号,不好意思
 即
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解此联立方程得
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